Trójkąt prostokątny
i twierdzenie Pitagorasa
Wprowadzenie
Twierdzenie Pitagorasa to najbardziej rozpoznawalne twierdzenie w historii matematyki, które posiada niezliczoną ilość dowodów. Jest przypisywane żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż można przyjąć, że było znane dużo wcześniej w Babilonie, Egipcie, Chinach i Indiach.
Rys. 1. Trójkąt prostokątny, opis.
Trójkąt prostokątny
Dotyczy trójkątów prostokątnych, czyli takich trójkątów, w których jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta stojące przy kącie prostym nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok leżący na przeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną (rys. 1).
Zapoznajmy się ze słynnym twierdzeniem Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa.
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Zgodnie z oznaczeniami na Rys. 2, zachodzi równość
Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Rys. 2. Interpretacja geometryczna Twierdzenia Pitagorasa
Przecież to jest niemożliwe (na zdrowy rozum)
No dobrze, ale dlaczego figura złożona z dwóch mniejszych kwadratów ma pole takie same jak największy kwadrat?
Czy można to jakoś prosto uzasadnić?
Rys. 3. Trójkąt prostokątny równoramienny i twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli popatrzymy na Rys. 3, to możemy zobaczyć, że w przypadku trójkąta prostokątnego równoramiennego (przyprostokątne są równej długości) twierdzenie Pitagorasa musi być prawdziwe. Łatwo pokryjemy duży kwadrat mniejszymi kwadratami.
Ale w przypadku różnych przyprostokątnych musimy się trochę wysilić, aby wymyślić dowód naszego twierdzenia. Postaram poprowadzić Was przez trzy różne dowody, a musicie uwierzyć, że jest ich setki.
Dowody twierdzenia Pitagorasa
Rys. 4. Dowód twierdzenia Pitagorasa podany w „Elementach” Euklidesa
Dowód nr 1
Pomysł dowodu pochodzi z „ELEMENTÓW” Euklidesa i na Rysunku 4 widzimy jak podzielić (pokroić) mniejsze kwadraty na takie części, z których można ułożyć największy kwadrat.
Kolejne etapy dowodu znajdują się w galerii poniżej (wystarczy klikać na strzałki lewo-prawo lub kółeczka).
Ale zachęcam do samodzielnego wykazania, że poniższy podział jest poprawny.
Rys. 5. Dowód twierdzenia Pitagorasa oparty na zbudowaniu jednakowych kwadratów
Dowód nr 2
Ten dowód jest oparty na genialnym spostrzeżeniu, że możemy obudować największy kwadrat i dwa mniejsze, przy pomocy trójkąta prostokątnego, na którym te kwadraty zostały zbudowane. W ten sposób otrzymujemy dwa identyczne kwadraty, które muszą mieć takie samo pole (Rys. 5).
Jeżeli zauważymy jeszcze, że w każdym kwadracie znajdują się po cztery trójkąty prostokątne, które stanowią część pola kwadratów, to wyrzucając je z rysunku musimy zachować równość pól pozostałych figur.
Co kończy dowód.
Poniżej możemy obejrzeć kolejne kroki tego dowodu (klikając w strzałki lub kółeczka). Na koniec chciałbym zachęcić do wycięcia z tekturki elementów tej układanki, zabawa jest bardzo pouczająca, a zrozumie ją nawet sześciolatek.
Dowód nr 3
W tym przypadku, pomysł dowodu opiera się na pomysłowym ułożeniu naszego trójkąta prostokątnego w kwadrat o boku c.
Ta konstrukcja oprócz największego kwadratu, tworzy jeszcze kwadrat o boku (a-b). Dodając pola czterech trójkątów i pole małego kwadratu otrzymujemy pole największego (Rys. 6).
Teraz musimy wykonać tylko trochę rachunków (poniżej) i zakończyć dowód.
Kolejne kroki konstrukcji możemy zobaczyć w galerii poniżej.
Rys. 6. Dowód twierdzenia Pitagorasa oparty na zbudowaniu kwadratu z trójkątów prostokątnych
Po co nam twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa?
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Jeżeli w trójkącie, suma kwadratów dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego boku, to taki trójkąt jest prostokątny.
Dowód tego twierdzenia jest prostym wnioskiem z twierdzenia kosinusów. Można też zauważyć, że trójkąt o bokach a,b,c musiałby przystawać do trójkąta prostokątnego o bokach a,b,c.
Okazuje się, że to twierdzenie ma praktyczne zastosowanie. Wystarczy wziąć listewki o długości 30 cm, 40 cm, 50 cm i zbudować z nich trójkąt. Ponieważ boki spełniają twierdzenie Pitagorasa (warto to sprawdzić), to zbudowany trójkąt będzie prostokątny i nadaje się do mierzenia kątów prostych.
Jeżeli boki trójkąta spełniają równanie
to trójkąt musi być prostokątny (Rys. 3), kąt prosty znajduje się
na przeciwko boku c
Rys. 3. Trójkąt musi mieć jeden kąt prosty
Na zakończenie
To jest dowód twierdzenia Pitagorasa w mojej ubikacji.
Siedząc na „tronie” mogę kontemplować piękno MATEMATYKI.
Szczepan Jeleński
Śladami Pitagorasa
Jeżeli chcecie pogłębić temat o kolejne ciekawostki i dowody związane z twierdzeniem Pitagorasa, to zachęcam do zajrzenia do książki Szczepana Jeleńskiego.
Mój egzemplarz pochodzi z 1974 r.