Tabliczka mnożenia,
czyli jak mnożymy liczby
w systemach pozycyjnych
Wprowadzenie
Celem tego artykułu jest opisanie algorytmu mnożenia liczb, a szczególnie kluczowy do tego element “tabliczkę mnożenia”.
W dzisiejszych czasach, gdy każdy ma przy sobie kalkulator (w telefonie) zasadne jest pytanie, czy w szkole uczyć tabliczki mnożenia i pisemnego mnożenia liczb (zwanego też mnożeniem “pod kreską”).
Z drugiej strony, nie zajmując się tym tematem, ucieknie nam dużo interesujących pomysłów jak obejść wykucie tabliczki mnożenia „na pamięć” i na czym polega algorytm mnożenia liczb w systemach pozycyjnych (pamiętajcie, że dla nas naturalny jest system dziesiętny, a dla komputerów dwójkowy).
Może też nam uciec milion złotych, jeżeli nie potrafimy odpowiedzieć na pytanie, ile to jest:
11111×11111
(pytanie za 1 mln zł w programie Milionerzy i nie możemy skorzystać z kalkulatora).
11111×11111 = 123454321
Co to znaczy coś policzyć?
Wyobraźmy sobie, że mamy rozrzucone przedmioty i mamy je policzyć. Co to tak naprawdę znaczy?
Trudno nam oszacować, a co dopiero podać dokładną liczbę kostek (jedności), jeżeli są bezładnie porozrzucane. Co w takim razie musimy zrobić?
Otóż musimy je po prostu w odpowiedni sposób posegregować (poukładać np. w stosy), używając do tego liczby 10 i jej potęgi (tyle mamy palców u rąk – w tym systemie pozycyjnym czujemy się pewnie) lub dowolnej innej liczby – na potrzeby tego artykułu będzie to liczba 2 i jej potęgi (jest to najmniejsza możliwa liczba i korzystają z niej do swoich obliczeń komputery).
Jeżeli chcemy zapisać liczbę w systemie pozycyjnym dziesiętnym, to najpierw układamy w stosy po dziesięć przedmiotów, a jak coś zostanie, to oznaczamy tę resztę cyfrą od 1 do 9, jeżeli nic nie zostanie, to 0.
Następnie to samo robimy z dziesiątkami, tworząc setki, resztę dziesiątek oznaczamy cyfrą. Następnie setki grupujemy w tysiące, resztę setek oznaczamy cyfrą itd., aż skończą nam się liczone przedmioty.
Oczywiście podstawą naszego działania może być dowolna liczba większa lub równa 2 (nawet 60). Zauważmy, że w ten sposób tworzymy szyfr ze znaków zwanych cyframi, w którym ważna jest kolejność tych cyfr.
Jeżeli postępujemy w sposób opisany powyżej, to zapis liczby tworzymy od prawej (pierwsza z prawej jest zawsze cyfrą jedności, druga dziesiątek itd.), a odczytujemy od lewej np. 5023=5×1000+0x100+2×10+3 – pięć tysięcy (zero setek) dwadzieścia trzy (nazwa liczby oddaje sens zapisu w systemie pozycyjnym dziesiętnym – jeżeli jest zero to opuszczamy człon liczby).
W systemie dziesiętnym do zapisu liczby musimy mieć do dyspozycji dziesięć znaków graficznych: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (zwanych cyframi), natomiast w systemie dwójkowym tylko dwa 0 i 1. Nie trudno zgadnąć, że w systemie trójkowym będą trzy znaki: 0, 1 i 2, natomiast w systemie szesnastkowym (używanym przez programistów), musimy jeszcze dorobić sześć znaków: a, b, c, d, e, f lub A, B, C, D, E, F (są to początkowe litery alfabetu łacińskiego), ponieważ musimy mieć do zapisu liczby szesnaście cyfr.
Rysunek powyżej pokazuje, że jeżeli kostki poukładamy w stosy zgodnie z jakąś regułą, to już łatwo możemy taką liczbę zapisać i nazwać.
W systemie dziesiętnym jest to liczba “dwadzieścia siedem” (mówimy, że mamy dwie dziesiątki i siedem jedności).
W systemie dwójkowym jest to “szesnaście osiem dwa jeden” (może to dziwnie brzmi, ponieważ do nazwania naszej liczby użyłem nazw z systemu dziesiętnego, ale nic nie stoi na przeszkodzie aby nadać stosom jedynek inne nazwy – ale wtedy wszyscy musieli by je znać). Jeżeli znamy “szyfr” zapisu dwójkowego (i znamy kolejne potęgi liczby 2: 20=1, 21=2, 22=4, 23=8, 24=16 itd.), to łatwo zamienimy zapis “dwójkowy” na “dziesiętny” 110112=1×16+1×8+0x4+1×2+1×1=16+8+2+1=27.
Zauważmy, że liczbę 11011 zapisałem z indeksem dolnym 2, co oznacza zapis pozycyjny dwójkowy (w przypadku zapisu dziesiętnego nie stosujemy indeksów).
Co to znaczy pomnożyć dwie liczby?
Mnożenie liczb jest tak naprawdę zwykłym dodawaniem, z tą różnicą, że dodajemy do siebie jednakowe liczby, a nie dowolne. Aby to sobie uzmysłowić, popatrzmy na rysunek poniżej, na którym graficznie zostało przedstawione mnożenie liczb 6 razy 4 (co dosłownie oznacza dodanie sześciu czwórek).
Zauważmy, że nie wiemy ile jest kwadratów jednostkowych (wiemy tylko ile możemy dodać liczb do siebie). Przyjmujemy, że pierwsza liczba 6 określa ile razy mamy dodać liczbę 4. Jeżeli zamienimy miejscami liczby, to zapytamy jaką liczbę stanowi dodanie do siebie czterech szóstek.
Nie trudno zauważyć, że nasze kwadraty jednostkowe układają się w dwa identyczne prostokąty, ale obrócone, a liczba kwadratów jednostkowych jest polem tych prostokątów (przypominam, że pola figur obliczamy zliczając kwadratowe pola jednostkowe, nawet dla koła). Taka własność działania nazywa się przemiennością, tzn., że mnożenie liczb jest przemienne (tak naprawdę mnożenie dowolnej ilości liczb jest przemienne 2x3x4x5=3x4x5x2=4x2x3x5= itd.)
Uwaga! Wkładanie skarpetek i butów nie jest przemienne.
Dlaczego mnożenie musimy wykonać przed dodawaniem?
Żeby odpowiedzieć na powyższe pytanie, musimy przyjrzeć się rysunkowi znajdującemu się poniżej
Tak naprawdę, to powyższy zapis mówi, że do sześciu czwórek mamy dodać trójkę. Problem w tym, że zapis mnożenia 6×4 nie jest wynikiem mnożenia, czyli nie jest liczbą.
Dlatego nie możemy dodać liczby 3 do symbolu działania 6×4.
Najpierw musimy wykonać mnożenie 6×4=24 (wynik mnożenia jest już liczbą) i dopiero wtedy możemy dodać 3.
Teraz już nie ma problemów 24+3=27.
Co ciekawe, bardzo duża liczba uczniów ma problem z kolejnością działań na liczbach.
Na rysunku powyżej nie ma problemu z dodawaniem, ponieważ mamy dwie liczby 24 i 3, które możemy do siebie dodać. 24+3=27.
Tabliczka mnożenia
Na rysunku poniżej znajduje się tablica liczb, zapisanych w systemie pozycyjnym dziesiętnym (popularnie zwana „tabliczką mnożenia”), na której zostały umieszczone wszystkie mnożenia liczb jednocyfrowych, od 0 do 9.
Całe pokolenia uczniów od stuleci musiało nauczyć się na pamięć tej tablicy oraz recytować wyniki mnożeń bez zająknięcia i na ocenę.
Na szczęście jest kilka ciekawych spostrzeżeń, które ułatwiają taką naukę. Po co nam taka wiedza (znajomość tabliczki mnożenia)? Bez niej nie opanujemy algorytmu mnożenia dowolnych liczb (w systemie pozycyjnym dziesiętnym).
Zauważmy, że nie ma w tablicy mnożeń przez liczbę 10 (to jest liczba dwucyfrowa i nigdy nie jest wykorzystywana w algorytmie mnożenia).
Na rysunku poniżej znajduje się tabliczka mnożenia liczb zapisanych w systemie dwójkowym, prezentuje ona wszystkie wyniki mnożenia liczb jednocyfrowych. Nie trudno zauważyć, że jest identyczna z początkiem (lewym górnym rogiem) tablicy w systemie dziesiętnym. Myślę, że każdy uczeń życzyłby sobie takiej tablicy liczb do wykucia na pamięć. Pamiętamy, że na liczbach zapisanych w systemie pozycyjnym dwójkowym pracują komputery, a nam pozostaje tylko im pozazdrościć.
Dlaczego nie musimy pamiętać wszystkich liczb tabliczki mnożenia?
zostało do zapamiętania 55 liczb
Uwaga 1
Mnożenie liczb jest przemienne, dlatego natychmiast możemy ograniczyć naukę ze 100 liczb do 55 liczb.
zostało do zapamiętania 45 liczb
Uwaga 2
Mnożenie przez zero zawsze wynosi 0, dlatego zostaje 45 liczb.
zostało do zapamiętania 36 liczb
Uwaga 3
Mnożenie przez 9, możemy zastąpić sztuczką wykorzystującą nasze dłonie (zostaje 36 liczb).
Jeżeli popatrzymy na nasze dłonie od wewnątrz i zegniemy jeden palec np. trzeci od lewej (czyli mnożymy 3 przez 9), to liczba palców od lewej, zgiętego palca, jest liczbą dziesiątek (2 palce), a leżące po prawej, zgiętego palca, podają liczbę jedności (7 palców), czyli 3×9=27 (dwie dziesiątki i siedem – moja żona tylko tak mnoży przez 9).
Poniżej znajdziecie wszystkie mnożenia przez 9 (0x9=0).
zostało do zapamiętania 27 liczb
równanie, które pozwala zrobić nam sztuczkę
z palcami rąk
wyprowadzenie naszego równania
Uwaga 4
Mnożenie liczb większych od 5, również możemy zastąpić sztuczką wykorzystującą nasze dłonie (zostaje 27 liczb).
Jeżeli popatrzymy na nasze dłonie od wewnątrz, odliczamy 7 palców od prawej strony, pozostałe 3 zaginamy, następnie odliczamy 8 palców od lewej strony i pozostałe 2 zaginamy, liczby zgiętych palców mnożymy (3×2=6), a pozostałe liczymy (to są dziesiątki – 5 dziesiątek czyli 50) i teraz łatwo obliczymy 50+6=56.
Poniżej znajdziecie wszystkie mnożenia liczb większych niż 5 (mnożenia przez 9 już były, ale warto zobaczyć inny sposób).
zostało do zapamiętania 12 liczb
Uwaga 5
Mnożenie liczb przez 1 i przez 2 jest łatwe, dlatego zostało nam do wykucia tylko 12 liczb.
Mnożenie liczb w systemie pozycyjnym dziesiętnym
Znając „tabliczkę mnożenia” oraz algorytm dodawania i mnożenia liczb dziesiętnych, możemy szybko pomnożyć przez siebie dwie dowolne liczby.
Jak wymnożyć 678 razy 234? Jeżeli zastosowalibyśmy definicję mnożenia, to wystarczy 678 razy dodać do siebie liczbę 234 (powodzenia).
Na szczęście nie musimy się tak trudzić, wystarczy poznać algorytm mnożenia liczb (tak naprawdę jest identyczny w każdym systemie pozycyjnym). Poniżej znajdują się grafiki pokazujące kolejne kroki algorytmu mnożenia. Proponuję wziąć kartkę i zacząć liczyć.
Co prawda mnożenie pisemne jest eleganckie i krótkie, dosyć szybko prowadzi do wyniku, ale… . Mnożąc przez siebie liczby jednocyfrowe w większości przypadków otrzymujemy liczby dwucyfrowe (np. 3×4=12), a nas tak naprawdę interesuje liczba jedności tych liczb, natomiast liczba dziesiątek (mogą to być dziesiątki jedności, dziesiątek, setek, tysięcy itd.) musi zostać przeniesiona do “pamięci” (najlepiej zapisać ją dyskretnie nad zapisanym mnożeniem u góry z lewej strony) i uwzględniona (dodana) przy kolejnym mnożeniu liczb jednocyfrowych.
Można to przyrównać do szydełkowania, gdzie liczymy oczka (nasze jednostkowe mnożenia), coś tam do nich dodajemy, a jak się nie pomylimy to dostajemy np. sweter.
W naszym przypadku, również wpisujemy po jednej cyfrze naszej liczby i w magiczny sposób pojawia się wynik mnożenia (muszę się przyznać, że nigdy nie jestem pewny, czy dobrze policzyłem kolejne kroki, a co dopiero czy wynik jest poprawny).
Dlatego pojawiają się również metody mnożenia wspomagane grafiką (np. w Japonii).
Mnożenie liczb po japońsku
To samo mnożenie 678×234, spróbujemy wykonać wspomagając się grafiką. Szybkie spojrzenie na grafikę do tej części artykułu pokazuje, że na pewno musimy dysponować większą kartką papieru (mnożenie pisemne możemy wykonać na bilecie).
Cyfry naszych liczb zamieniamy na odpowiednią liczbę kresek, które staramy się rysować pod kątem 45 stopni (pierwsza liczba) i pod kątem -45 stopni (druga liczba) – linie powinny przecinać się pod kątem prostym.
Jeżeli wykonamy rysunek poprawnie, to punkty przecięcia prostych, patrząc od prawej strony, powinny symbolizować odpowiednio: jedności, dziesiątki, setki, tysiące itd..
Jeżeli zliczymy teraz oddzielnie liczby jedności, dziesiątek (zliczamy dwie grupy kropek) i itd., to otrzymamy kilka (w naszym przypadku 5) liczb dwucyfrowych (jeżeli są jednocyfrowe to się cieszymy).
Teraz możemy już spisywać (zaczynając od prawej) liczbę jedności, żeby wpisać liczbę dziesiątek, musimy najpierw sprawdzić, czy nie wpadło nam kilka dziesiątek z jedności. Jeżeli znamy liczbę wszystkich dziesiątek i jest to liczba dwucyfrowa to spisujemy cyfrę jedności (jeżeli jest to liczba jednocyfrowa to ją spisujemy).
Policzenie setek, tysięcy itd. jest analogiczne.
Po spisaniu całej liczby idziemy na kawę, a najlepiej to sprawdzamy wynik na kalkulatorze i dopiero wtedy idziemy na kawę.
Mnożenie liczb w systemie pozycyjnym dwójkowym
Zacznijmy jednak od mnożenia w systemie dziesiętnym liczb 10×10. Jeżeli poszukamy w internecie tabliczek mnożenia, to odkryjemy, że takie mnożenie tam również się znajduje.
Ale jest to mnożenie liczb dwucyfrowych, które możemy wykonać naszym algorytmem mnożenia pisemnego.
Co ciekawe identycznie wyglądające mnożenie możemy zobaczyć w każdym systemie pozycyjnym, nawet opartym na liczbie 2 i o dziwo, w „tabliczce mnożenia” do systemu dwójkowego, mnożenia 10×10 nie ma, ponieważ do algorytmu potrzebujemy wyniki mnożeń tylko liczb jednocyfrowych.
Jeżeli jednak mnożenie zostanie wykonane tym samym algorytmem, ale w systemie dwójkowym, to zauważmy, że zapis cyfrowy jest taki sam, ale tłumacząc to na system dziesiątkowy zrobiliśmy mnożenie 2×2=4.
W takim razie, skąd mamy wiedzieć jaką liczbę naprawdę zapisaliśmy? Przecież zapisy wyglądają tak samo, a oznaczają inne liczby.
Nie trudno wydedukować, że musimy najpierw określić, w jakim systemie pozycyjnym zapisujemy liczby.
Na grafice przy zapisanych liczbach znajduje się mały dolny znak 2 (indeks dolny), który oznacza, że liczba jest zapisana w systemie dwójkowym.
Od systemu pozycyjnego zależy również nasz konkretny algorytm mnożenia (musimy uważać jakie liczby musimy przesunąć na inną pozycję).
Żeby trochę oswoić się z zapisem w systemie pozycyjnym dwójkowym przeanalizujmy kilka grafik.
Na tej grafice widzimy dwie jednostki (kwadraty jednostkowe), które zostały ustawione w taki sposób, aby można było łatwo zapisać ich liczbę szyfrem, który realizujemy za pomocą znaków graficznych zwanych cyframi.
W systemie dwójkowym (najprostszym systemie pozycyjnym), każdą kolumnę jednostek (potęgi dwójki), możemy wybrać tylko jeden raz albo wcale (pamiętamy, że w przypadku systemu dziesiątkowego, możemy wybrać kolumnę od 0 do 9 razy – czyli na dziesięć sposobów).
Dlatego liczbę 2 (w systemie dziesiętnym) zapisujemy jako 10 w systemie dwójkowym. Ten szyfr mówi nam tylko, że mamy jedną dwójkę i zero jedynek, czyli 102=1×2+0x1 (ten zapis pozwala nam przeliczyć zapis pozycyjny dwójkowy na dziesiętny).
Mam nadzieję, że odcyfrowanie zapisu do tej grafiki, na której znajduje się pięć jednostek, nie sprawi już nikomu problemu (1012=1×4+0x2+1×1=5).
Zauważmy, że zapis 2×2=4 w systemie dziesiętnym i 102x102=1002 w systemie dwójkowym, nie zmienia liczby kwadratów jednostkowych. Po prostu zmienił się tylko “szyfr” zapisu.
Na początku rozdziału widzieliśmy mnożenie pisemne 10×10, które wyglądało identycznie w obu systemach (dwójkowym i dziesiątkowym), ale różniło się liczbą zapisanych jednostek (4 i 100).
Teraz zobaczymy, że co prawda mnożenia będą identyczne w obu systemach, ale dodawanie będzie się różnić. W systemie dwójkowych dodanie dwóch jedynek (1+1) daje liczbę 102, dlatego na następnej pozycji po lewej stronie musimy uwzględnić w dodawaniu jedną jednostkę (w naszym przypadku to czwórka). Dodając dwie czwórki mamy ósemkę, dlatego w miejscu czwórek stawiamy 0, a w miejscu ósemek 1.
Zatem 112x112=10012 w systemie dwójkowym (3×3=9 w systemie dziesiętnym).
Inaczej jednak wygląda dodawanie w systemie dziesiątkowym, tam dodanie 1+1=2 nie powoduje przepełnienia (suma musi być większa niż 9). Dlatego 11×11=121 w systemie dziesiętnym.
Jeżeli przeanalizujemy mnożenie 1012x1012 w systemie dwójkowym (5×5 w systemie dziesiętnym), to zobaczymy, że mnożenia są dziecinnie proste. Mnożenie przez 1 powoduje przepisanie liczby mnożonej (1012) na odpowiedniej pozycji, a mnożenie przez 0, zeruje nam całą liczbę (moglibyśmy tych zer nie wpisywać, ale moim zdaniem to tylko oszczędność na kartce). Jedynym miejscem przy dodawaniu, na którym jest przepełnienie, to pozycja czwórek. Dlatego 1 pojawia się na miejscu ósemek, a 0 na miejscu czwórek. Czyli 1012x1012=110012 w systemie dwójkowym (5×5=25 w systemie dziesiątkowym).
Jeżeli prześledzimy mnożenie 1112x1012 w systemie dwójkowym (7×5 w systemie dziesiętnym), to zobaczymy że dotarliśmy do pozycji liczby 1000002 w systemie dwójkowym (32 w systemie dziesiętnym).
Wcześniej musieliśmy przenieść ósemkę do ósemki (co zrobiło szesnastkę), a następnie szesnastkę do jednej szesnastki, co przeniosło nas do trzydziestki dwójki (niestety pozycje w systemie dwójkowym muszę nazywać tak, aby były dla nas zrozumiałe, czyli używać nazw z systemu dziesiętnego, co czasami jest mylące).
Tutaj w mnożeniu 1112x1112 w systemie dwójkowym (7×7) możemy się trochę pogubić, ponieważ do jedynek w kolorze czarnym (są nawet trzy) dodajemy jeszcze zapamiętane w kolorze szarym (zauważmy, że dodajemy dwie dwójki, cztery czwórki, później cztery ósemki i trzy szesnastki).
Na koniec doszliśmy do mnożenia pisemnego 111112x111112 w systemie dwójkowym (31×31 w dziesiętnym). Przypominam, że takie mnożenie w systemie dziesiętnym dawało milion złotych wygranej w Milionerach.
Mam nadzieję, że wynik tego mnożenia da Wam satysfakcję i staniecie się mistrzami mnożenia pisemnego w systemie dwójkowym, a przydługi wstęp pozwoli Wam zrozumieć magię uzyskania wyniku
111112x111112=11110000012 (31×31=961).
Mam nadzieję, że ten artykuł pozwoli Wam pomnożyć dowolne dwie liczby całkowite w systemie pozycyjnym dziesiętnym, jak i dwójkowym.
Opis różnych systemów pozycyjnych zapisu liczb będzie w osobnym artykule.